中学2年生で学ぶ「多角形の内角と外角の和」は、図形の角度を求める問題で必ず使う重要なルールです。
一見、公式が複雑に見えるかもしれませんが、すべての基本は「三角形」にあります。
このポイントさえ押さえれば、どんな多角形でも怖くありません。
「内角」とは、多角形の内側にある角のことです。
まず、絶対に忘れてはいけない基本ルールはこれです。
三角形の内角の和は 180°
この事実を利用して、どんな多角形も1つの頂点から対角線を引いて、いくつの三角形に分けられるかを考えます。
1つの頂点から対角線を引くと、2つの三角形に分けられます。
よって、内角の和は 180° × 2 = 360° となります。
1つの頂点から対角線を引くと、3つの三角形に分けられます。
よって、内角の和は 180° × 3 = 540° となります。
1つの頂点から対角線を引くと、4つの三角形に分けられます。
よって、内角の和は 180° × 4 = 720° となります。
何か気づきましたか？
「〇角形」の「〇」の数字と、分割される三角形の個数の間には、「三角形の個数 = 角の数 - 2」という関係が成り立っています。
この法則から、n角形の内角の和を求める公式が生まれます。
n角形の内角の和の公式: 180° × (n - 2)
nに8を代入して、180° × (8 - 2) = 180° × 6 = 1080°
正多角形とは、すべての辺の長さとすべての内角の大きさが等しい多角形のことです。
したがって、1つの内角の大きさは、内角の和を頂点の数（n）で割れば求められます。
正n角形の1つの内角の大きさ: {180° × (n - 2)} ÷ n
「外角」とは、多角形の1つの頂点で、1つの辺を延長した線とその隣の辺との間にできる角のことです。
（※1つの内角とその外角を足すと、必ず180°になります。）
内角の和は角の数が増えるほど大きくなりましたが、外角の和には驚くべき性質があります。
どんな多角形でも、外角の和は常に 360°
これは、三角形でも、四角形でも、百角形でも、どんな多角形でも絶対に変わりません。
多角形の周りをぐるっと一周することを想像してください。
各頂点で曲がるとき、その「曲がる角度」が外角にあたります。
スタート地点から出発して、元の向きに戻ってくるまでには、合計で360°（一回転分）だけ向きを変えることになります。
だから、外角の和は常に360°なのです。
このシンプルな性質のおかげで、正多角形の1つの外角を求めるのは非常に簡単です。
正n角形の1つの外角の大きさ: 360° ÷ n
この2つのルールを知っていると、問題を楽に解くことができます。
内角の和を求める: 180° × (10 - 2) = 180° × 8 = 1440°
頂点の数で割る: 1440° ÷ 10 = 144°
答え: 144°
先に1つの外角を求める: 360° ÷ 10 = 36°
180°から引く: 内角と外角の和は180°なので、180° - 36° = 144°
答え: 144°
どちらの解き方でも答えは同じですが、外角から計算した方が、数字が小さく、計算が圧倒的に楽になります。
| 内角 | 外角 | |
|---|---|---|
| 和の公式 | 180° × (n - 2) | いつでも 360° |
| 正n角形の1つの角 | (和) ÷ n | 360° ÷ n |
この2つの公式と、三角形が基本であるという考え方をしっかり理解して、様々な角度の問題に挑戦してみましょう！