相似な図形①

 

「相似な図形」の世界をマスターしよう

中学3年生で学ぶ「相似（そうじ）」は、2年生で学んだ「合同」と考え方がよく似ていますが、図形を見る視野をぐっと広げてくれる重要な単元です。

合同が「形も大きさも全く同じ」だったのに対し、相似は「形は全く同じで、大きさが違う」図形のペアを扱います。

ここでは、相似の基本的な考え方から、証明の武器となる「三角形の相似条件」まで、合同と比較しながら分かりやすく解説します。

 

1. 「相似」とは？ ～拡大・縮小コピーの関係～

相似とは:

一方の図形を、形を変えずに一定の割合で拡大、または縮小すると、もう一方の図形にぴったりと重ね合わせることができる、という2つの図形の関係のことです。

（※合同は、相似の特別な場合で「拡大・縮小の比が1:1」の関係と考えることもできます）

記号:

図形Aと図形Bが相似であることを、A ∽ B という記号で表します。

対応する点・辺・角:

合同と同じく、拡大・縮小して重ねたときに重なり合う点、辺、角を、それぞれ「対応する頂点」「対応する辺」「対応する角」と呼びます。

【相似な図形の2つの絶対的な性質】

対応する角の大きさは、それぞれ等しい。

拡大・縮小しても、角度は一切変わりません。

対応する辺の長さの比は、すべて等しい。

この一定の比率のことを「相似比（そうじひ）」と呼びます。

例: 相似比が 2:3 の2つの三角形がある場合、対応する3組の辺の長さの比は、すべて 2:3 になります。

 

2. 証明の最強ツール！「三角形の相似条件」

2年生で学んだ「三角形の合同条件」と同じように、相似にも「この条件を満たせば、絶対に相似だ！」と断定できる3つの条件があります。

これが証明問題を解くための「3つの必殺技」です。

合同条件と見比べながら覚えると、とても覚えやすいです。

必殺技①：3組の辺の比がすべて等しい

(合同条件) SSS: 3組の辺がそれぞれ等しい

(相似条件) SSS': 3組の辺の比がすべて等しい

例: 辺の長さが (3, 4, 5) の三角形と (6, 8, 10) の三角形は、辺の比がすべて 1:2 なので相似です。

必殺技②：2組の辺の比が等しく、その間の角がそれぞれ等しい

(合同条件) SAS: 2組の辺がそれぞれ等しく、その間の角がそれぞれ等しい

(相似条件) SAS': 2組の辺の比が等しく、その間の角がそれぞれ等しい

【注意！】: 合同条件と同じく、角の位置が「間」であることが絶対条件です。

必殺技③：2組の角がそれぞれ等しい

(合同条件) ASA: 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

(相似条件) AA: 2組の角がそれぞれ等しい

【なぜ辺の条件がないの？】: 三角形の内角の和は180°なので、2つの角が決まれば、残りの1つの角も自動的に決まります。

つまり、3つの角がすべて等しくなることが確定し、形が決定するため、辺の長さの条件は必要ありません。

【最重要！】: この「2組の角がそれぞれ等しい」は、証明問題で圧倒的によく使われる、最も強力な相似条件です。

 

3. 相似の証明の書き方

証明の基本的な流れは、合同の証明と全く同じです。

結論と仮定を明らかにする。

ターゲットとなる2つの三角形を見つける。

相似条件に当てはめるため、等しい「角」や等しい「辺の比」を2つまたは3つ探す。

（根拠もセットで書く）

相似を宣言し、使った相似条件を述べる。

結論を導く。

【例題】

下の図で、∠BAC = ∠ADC = 90° のとき、△ABC ∽ △DAC であることを証明しなさい。

         A
        /|\
       / | \
      /  |  \
     /   |   \
    /    |    \
   B-----D-----C

(証明)

△ABC と △DAC において、

仮定より、 ∠BAC = ∠ADC = 90° ...①

共通な角なので、 ∠BCA = ∠DCA ...②

（※ ∠C と書かずに、3つの頂点を使って正確に角を表すのがポイント）

①, ②より、2組の角がそれぞれ等しいので、

△ABC ∽ △DAC

(証明おわり)

 

まとめ

相似は「形が同じで大きさが違う」図形の関係。

角は等しく、辺の比が一定（相似比）。

相似条件は3つあるが、特に「2組の角がそれぞれ等しい」が最重要。

相似の考え方は、直接長さを測れないもの（木や校舎の高さ、川幅など）を、縮図を使って計算で求めるなど、実生活にも応用できる非常にパワフルなツールです。

まずは3つの相似条件をしっかり覚え、図形の中から相似な三角形のペアを見つける練習を重ねましょう。