連立方程式

 

「連立方程式」を完全攻略しよう

中学2年生で学ぶ「連立方程式」は、1年生で学んだ方程式を大きく進化させたもので、今後の数学（一次関数や図形の証明など）のあらゆる場面で使われる超重要ツールです。

xとy、2つの文字の謎を解き明かす方法を学びましょう。

ここでは、代表的な2つの解き方「加減法」と「代入法」を徹底解説します。

 

1. 連立方程式とは？

連立方程式とは、xとyのような2種類の文字（二元）を含む一次方程式が、2つセットになっているものです。

【例】

   { x + y = 7   ...①
   { x - y = 1   ...②

この方程式を「解く」とは、①の式と②の式の両方を同時に成り立たせるxとyの数のペアを見つけ出すことです。

連立方程式を解くための「たった一つの目標」

文字が2つあるままでは、方程式を解くことはできません。

そこで、連立方程式を解くための目標はただ一つです。

「2つの式をうまく利用して、xかyのどちらか一方の文字を消去し、文字が1つだけの一次方程式を作ること」

この「文字を消去する方法」として、「加減法」と「代入法」の2つのテクニックがあります。

 

2. 解き方① 加減法（かげんほう）

【どんな方法？】

2つの式を辺どうしで足したり引いたりして、文字を1つ消去する方法です。

加減法のステップ

【例題】

   { x + 2y = 5   ...①
   { 3x - y = 8   ...②

Step 1: 消去する文字を決めて、係数の絶対値をそろえる

xを消すなら係数を「3」に、yを消すなら係数を「2」にそろえます。

今回はyを消してみましょう。

①の式はyの係数が2、②の式は-1です。

②の式全体を2倍すれば、係数の絶対値が2でそろいます。

   x + 2y = 5      ...①
  (3x - y = 8) × 2 →  6x - 2y = 16   ...②'

Step 2: 2つの式を足すか引くか決める

そろえた文字の符号を見ます。

+2y と -2y のように符号が違う場合は、2つの式を足します。

もし+2yと+2yのように符号が同じ場合は、2つの式を引きます。

今回は符号が違うので、①と②'を足します。

   x + 2y = 5
+)  6x - 2y = 16
----------------
   7x       = 21

これでyが消去できました！

Step 3: 文字が1つになった方程式を解く

7x = 21

x = 3

Step 4: 求まった値を元の式に代入して、残りの文字を求める

求まった x = 3 を、元の簡単な方の式（今回は①）に代入します。

x + 2y = 5 の x に 3 を入れると…

3 + 2y = 5

2y = 2

y = 1

答え： x = 3, y = 1

 

3. 解き方② 代入法（だいにゅうほう）

【どんな方法？】

片方の式を「x = ...」または「y = ...」の形に変形し、それをもう片方の式に代入（合体）することで文字を1つ消去する方法です。

代入法のステップ

【例題】

   { y = x + 1   ...①
   { 2x + 3y = 8   ...②

Step 1: 「x = ...」または「y = ...」の式を用意する

この問題では、①の式がすでに「y = x + 1」の形になっています。

Step 2: もう片方の式に代入する

①の式（yの正体はx+1）を、②の式のyの部分に代入します。

【重要】 代入するときは、必ずカッコをつけて代入しましょう！

2x + 3( x + 1 ) = 8

これでyが消去できました！

Step 3: 文字が1つになった方程式を解く

カッコをはずして計算します。

2x + 3x + 3 = 8

5x = 5

x = 1

Step 4: 求まった値を代入用の式に戻して、残りの文字を求める

求まった x = 1 を、ステップ1で用意した式（今回は①）に代入するのが一番簡単です。

y = x + 1 の x に 1 を入れると…

y = 1 + 1

y = 2

答え： x = 1, y = 2

 

どっちを使えばいいの？使い分けのコツ

加減法がおすすめな場合

Ax + By = C の形に式が整理されているとき。

(例: 2x + 3y = 5, 4x - 5y = 1)

代入法がおすすめな場合

x = ... や y = ... の形がすでにあるとき。

係数が1や-1の文字（xや-yなど）があり、簡単に「x = ...」の形に変形できるとき。

基本的にはどちらの方法でも解けます。

問題の形を見て、計算が楽になりそうな方を選ぶのがベストです。

両方の方法をマスターして、スムーズに解けるように練習しましょう！