中学3年生で学ぶ「二次方程式」は、これまで学んできた「式の展開・因数分解」や「平方根」の知識を総動員して解く、中学数学の計算分野のゴールとも言える単元です。
二次方程式とは、式を整理したときに ax² + bx + c = 0 (ただし a は0ではない) の形で表される方程式のことです。
xの最も大きい次数が「2」なので「二次」方程式と呼ばれます。
この方程式を解く（xの値を求める）ための代表的な3つの方法「因数分解」「平方完成」「解の公式」を、使うべき順番に沿って解説します。
二次方程式を解くときは、まず最初にこの方法が使えないかを考えます。
これが最も速く、簡単に解ける方法です。
かけ算の性質 A × B = 0 ならば、A = 0 または B = 0 である、という考え方を利用します。
【例題】 x² - 5x + 6 = 0
式を = 0 の形に整理する。
（この問題はすでになっています）
左辺を因数分解する。
「かけて +6、たして -5」になる2つの数は -2 と -3 です。
(x - 2)(x - 3) = 0
A × B = 0 の考え方を使う。
(x-2) というカタマリと (x-3) というカタマリをかけて 0 になるということは…
x - 2 = 0 または x - 3 = 0 のはずです。
それぞれを解く。
x - 2 = 0 より x = 2
x - 3 = 0 より x = 3
答え： x = 2, 3
二次方程式の解は、このように2つ出てくることが基本です。
因数分解が使えないときに選択肢となります。
特に、x² + 6x - 2 = 0 のように、xの係数が偶数のときに比較的使いやすいです。
この考え方は、高校数学の関数分野でも非常に重要になります。
無理やり (x + p)² = q の形を作り出し、平方根の考え方を使って解きます。
【例題】 x² + 6x - 1 = 0
定数項（数字だけの項）を右辺に移項する。
x² + 6x = 1
左辺を ( )² の形にするために、両辺に「xの係数の半分の2乗」を加える。
xの係数は 6。
その半分は 3。
その2乗は 9。
この 9 を両辺に足します。
x² + 6x + 9 = 1 + 9
左辺を因数分解し、右辺を計算する。
(x + 3)² = 10
平方根の考え方を使って解く。
x + 3 は、「2乗して 10 になる数」なので…
x + 3 = ±√10
最後に +3 を移項します。
x = -3 ±√10
答え： x = -3 ±√10
因数分解ができないときの最終手段です。
この公式はどんな二次方程式でも必ず解くことができる最強のツールですが、計算が複雑になりやすいので、あくまで「最後の手段」として使うのが賢明です。
ax² + bx + c = 0 の解は…
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
この公式は、複雑ですが絶対に暗記しなければなりません。
【例題】 2x² + 5x - 1 = 0
（この式は因数分解できません）
a, b, c が何かを確認する。
a = 2, b = 5, c = -1 (符号もセットで！)
解の公式に a, b, c を慎重に代入する。
x = (-5 ± √(5² - 4 × 2 × (-1))) / (2 × 2)
計算できるところを順番に計算していく。
x = (-5 ± √(25 - (-8))) / 4
x = (-5 ± √(25 + 8)) / 4
x = (-5 ± √33) / 4
答え： x = (-5 ± √33) / 4
二次方程式の問題に出会ったら、以下の順番で解き方を考えましょう。
| ステップ | 判断すること | YESの場合 | NOの場合 |
|---|---|---|---|
| 1 | 因数分解できるか？ | 因数分解で解く 【最速！】 |
ステップ2へ ↓ |
| 2 | 解の公式を使うか？ （因数分解できない時） |
解の公式で解く 【最強！】 |
平方完成で解く 【高校でも役立つ！】 |
まず「因数分解」を試す。
できなければ「解の公式」を使う。
（または平方完成）
この流れを徹底することが、テストで時間内に正確に解くための最大のコツです。
たくさんの問題を解いて、3つのツールを自在に使いこなせるようになりましょう。