空間図形の単元では、様々な立体の外側の面積（表面積）と、中身の大きさ（体積）を求める計算方法を学びます。
公式がたくさん出てきますが、それぞれの成り立ちをイメージで理解することがマスターへの近道です。
表面積: その立体のすべての面の面積を合計したもの。
ペンキを塗るときに、塗る部分全体の面積をイメージすると分かりやすいです。
単位は cm² など。
体積: その立体の中にどれだけものが入るかという大きさ（かさ）。
コップにどれだけ水が入るか、をイメージすると分かりやすいです。
単位は cm³ など。
柱体は、上下に同じ形のフタがある「筒（つつ）」のような立体です。
角柱も円柱も、体積の考え方は同じです。
公式: 体積 = 底面積 × 高さ
底面積を求める: 底面は半径3cmの円なので、3 × 3 × π = 9π cm²
高さをかける: 9π × 10 = 90π
答え: 90π cm³
表面積は、「側面の面積」と「上下2つの底面の面積」を足し合わせます。
公式: 表面積 = 側面積 + 底面積 × 2
柱体の側面を展開すると、必ず長方形になります。
長方形のたて = 立体の高さ
長方形のよこ = 底面の周りの長さ
底面積を求める: 3 × 3 × π = 9π cm²。
これが2つあるので 18π cm²。
側面積を求める:
たて（高さ）は 10 cm。
よこ（底面の円周）は (直径) × π なので (3 × 2) × π = 6π cm。
側面積は 10 × 6π = 60π cm²。
合計する: 60π (側面積) + 18π (底面積×2) = 78π
答え: 78π cm²
錐体は、底面が1つで、先がとがった「帽子」のような立体です。
角錐も円錐も、体積は同じ底面・同じ高さの柱体のちょうど1/3になります。
なぜ1/3になるかの証明は高校で学びますが、今は「とんがり帽子は1/3」と覚えてしまいましょう。
公式: 体積 = 底面積 × 高さ × (1/3)
底面積を求める: 6 × 6 × π = 36π cm²
高さをかける: 36π × 8 = 288π
1/3をかける: 288π × (1/3) = 96π
答え: 96π cm³
錐体の表面積は、「側面の面積」と「1つの底面の面積」を足し合わせます。
公式: 表面積 = 側面積 + 底面積
円錐の側面を展開するとおうぎ形になります。
この面積には便利な公式があります。
円錐の側面積 = 母線 × 半径 × π
母線: 円錐の頂点から底面の円周までの斜めの線の長さ。
底面積を求める: 3 × 3 × π = 9π cm²
側面積を求める: 母線5 × 半径3 × π = 15π cm²
合計する: 15π (側面積) + 9π (底面積) = 24π
答え: 24π cm²
球の公式は、半径をrとすると、少し複雑なので語呂合わせなどで覚えるのが一般的です。
公式: S = 4πr²
覚え方: 「心配ある事情（しんぱいあるじじょう → 4πr²）」
公式: V = (4/3)πr³
覚え方: 「身の上に心配あるさ（みのうえに しんぱいあるさんじょう → (4/3)πr³）」
表面積: 4 × π × 3² = 4 × π × 9 = 36π
答え: 36π cm²
体積: (4/3) × π × 3³ = (4/3) × π × 27 = 36π
答え: 36π cm³ （たまたま表面積と同じ値になりました）
公式を丸暗記するだけでなく、「なぜこの式になるのか」を展開図や立体の成り立ちと結びつけて理解することが大切です。
特に表面積は、どの面を足し合わせるのかを落ち着いて考えれば、公式を忘れても解けることがあります。
たくさんの問題を解いて、それぞれの公式に慣れていきましょう。