中学2年生で学ぶ「一次関数」は、これからの数学（連立方程式のグラフ、図形の証明など）のあらゆる場面で登場する、非常に重要な単元です。
1年生で学んだ比例 y = ax のパワーアップ版と考えると、とても分かりやすくなります。
ここでは、一次関数の基本の式 y = ax + b の意味から、式の求め方までを徹底解説します。
一次関数とは、「一方の値 x を決めると、それにともなって、もう一方の値 y がただ一つだけ決まる関係」のうち、その関係が
y = ax + b
という式で表されるものをいいます。
お風呂の水: 「最初から5cm水が入っているお風呂に、1分間に2cmずつ水を入れる」
x分後の水位をycmとすると、y = 2x + 5 と表せます。
スマートフォンの料金: 「基本料金が1000円で、通話料が1分あたり30円かかるプラン」
x分通話したときの料金をy円とすると、y = 30x + 1000 と表せます。
このように、「決まった基本量（スタート地点）」があり、そこに「一定の割合で増えたり減ったりするもの」が加わる関係が、一次関数の特徴です。
一次関数を理解する鍵は、式の中の a と b がそれぞれ何を表しているかを正確に理解することです。
意味: xが1増加したときに、yがどれだけ増加（または減少）するかを表す値です。
役割:
a > 0 （aがプラスの数） → xが増えるとyも増加する。
（例：水が増える、料金が増える）
a < 0 （aがマイナスの数） → xが増えるとyは減少する。
（例：y = -2x + 10 → ろうそくが短くなるイメージ）
求め方:
変化の割合 (a) = (yの増加量) ÷ (xの増加量)
これは1年生で学んだ比例 y = ax の比例定数 a と全く同じ意味です。
意味: x = 0 のときの y の値です。
役割:
スタート地点や基本料金を表します。
グラフをかいたときに、グラフがy軸と交わる点（のy座標）になります。
y = 3x + 4 という式を見たら…
「これは、スタート地点が 4 で、xが1増えるごとにyが 3 ずつ増えていく関係なんだな」
と読み取れるようになれば、一次関数はマスターしたも同然です！
問題で与えられた条件から y = ax + b の a と b を特定し、式を完成させる方法を学びます。
aを代入: 変化の割合が 2 なので a=2。
求める式は y = 2x + b となります。
座標を代入: この式が点(3, 10)を通るので、x=3, y=10 を代入します。
10 = 2 × 3 + b
bを求める: bについての方程式を解きます。
10 = 6 + b
b = 4
式を完成: 求めた a=2, b=4 を y = ax + b に戻します。
答え： y = 2x + 4
まずa（変化の割合）を求める: xとyがそれぞれどれだけ増加したかを計算します。
xの増加量： 3 - 1 = 2
yの増加量： 11 - 5 = 6
a = (yの増加量) ÷ (xの増加量) = 6 ÷ 2 = 3
a=3 と分かったので、あとはパターン1と同じ
求める式は y = 3x + b。
通る点どちらか一方（計算が楽そうな (1, 5) を使う）を代入します。
x=1, y=5 を代入。
5 = 3 × 1 + b
bを求める
5 = 3 + b
b = 2
式を完成: 求めた a=3, b=2 を y = ax + b に戻します。
答え： y = 3x + 2
（別解として、2点の座標を y=ax+b にそれぞれ代入して、aとbの連立方程式として解く方法もあります）
一次関数は、y = ax + b というシンプルな式の中に、「変化の様子（a）」と「スタート地点（b）」という2つの重要な情報が詰まっています。
この a と b の意味をしっかり理解し、式の求め方のパターンを練習すれば、グラフの問題や文章問題にも応用できるようになります。