方程式

 

「方程式」を解き明かそう

「方程式」は、中学数学で最も重要と言っても過言ではない単元です。

算数で使った「□を使った式」の進化形で、これを使えば文章問題など、さまざまな問題を解決できるようになります。

ここでは、方程式の基本的な考え方から解き方までを、ステップ・バイ・ステップで解説します。

 

1. 方程式って何？

方程式とは、「まだ分かっていない数（未知数）」を x などの文字で表した「=（イコール）」で結ばれた式（等式）のことです。

そして、方程式を「解く」とは、その等式を成り立たせる特別な x の値を求めることを指します。

方程式の最終ゴールは、式を変形して「x = （数）」という形にすることです。

 

2. 方程式を解くための絶対的な道具：「等式の性質」

方程式の「=」は、左右の重さが釣り合っている「天びん」のようなものです。

この釣り合いを保ったまま、式をシンプルにしていくための4つの絶対的なルールが「等式の性質」です。

天びんの左右のお皿に同じことをすれば、釣り合いが保たれるイメージです。

両辺に同じ数を足しても、等式は成り立つ。

A = B ならば A + C = B + C

両辺から同じ数を引いても、等式は成り立つ。

A = B ならば A - C = B - C

両辺に同じ数をかけても、等式は成り立つ。

A = B ならば A × C = B × C

両辺を0でない同じ数でわっても、等式は成り立つ。

A = B ならば A ÷ C = B ÷ C

この4つの性質が、方程式を解くためのすべての操作の基礎となります。

 

3. 超便利テクニック：「移項」をマスターしよう！

等式の性質を毎回考えるのは少し大変です。

そこで生まれた便利なテクニックが「移項（いこう）」です。

移項とは:

等式の片方の辺にある項を、符号を変えて、もう片方の辺に移すこと。

プラス（+）の項は、移項するとマイナス（-）に変わる。

マイナス（-）の項は、移項するとプラス（+）に変わる。

【なぜ移項できるのか？】

x - 5 = 10 という式で考えてみましょう。

等式の性質を使う場合: 左辺の -5 が邪魔なので、両辺に 5 を足します。

x - 5 + 5 = 10 + 5 → x = 15

移項を使う場合: 左辺の -5 を、符号を + に変えて右辺に移します。

x = 10 + 5 → x = 15

結果は同じになります。

移項は、等式の性質①と②を素早く行うためのテクニックなのです。

 

4. 一次方程式の解き方【4ステップ】

それでは、実際に一次方程式を解く手順を見ていきましょう。

【例題】 4x - 3 = 2x + 7 を解きなさい。

ステップ1：文字の項を左辺に、数の項を右辺に移項する

「文字がついた仲間は左へ、数字だけの仲間は右へ」とお引越しさせます。

2x （プラス）を左辺に移項して -2x に。

-3 を右辺に移項して +3 に。

4x - 2x = 7 + 3

ステップ2：両辺をそれぞれ計算し、まとめる

文字式の計算ルールに従って、それぞれの辺をシンプルにします。

左辺： 4x - 2x = 2x

右辺： 7 + 3 = 10

2x = 10

ステップ3：「xの係数」で両辺をわる

ゴールである「x = （数）」の形にするため、x の前についている数字（係数）で両辺をわります。

（等式の性質④）

この場合は、x の係数である 2 で両辺をわります。

2x ÷ 2 = 10 ÷ 2

ステップ4：解を求める

計算して、最終的な答えを出します。

x = 5

答え：x = 5

 

まとめ

方程式は、一見複雑に見えるかもしれませんが、やっていることは非常にシンプルです。

移項して仲間（文字の項・数の項）を集める。

両辺をそれぞれ計算する。

最後にわり算をして「x = 」の形にする。

この手順をマスターすれば、どんな一次方程式も解くことができます。

方程式は、これからの数学の学習（連立方程式、関数、図形の証明など）のあらゆる場面で使われる超重要ツールです。

繰り返し練習して、確実に自分のものにしましょう。