中学3年生で学ぶ「平方根」は、「マイナスの数」以来の、新しい数の世界の幕開けです。
√（ルート）という見慣れない記号が出てきますが、基本的な考え方は決して難しくありません。
ここでは、平方根の意味から計算ルールまで、一つひとつ丁寧に解説していきます。
まず、「平方」という言葉の意味をおさらいしましょう。
平方: 同じ数を2回かけること（2乗すること）。
3 の平方は 3 × 3 = 9
(-3) の平方も (-3) × (-3) = 9
「平方根」は、このまったく逆の操作です。
平方根: 2乗すると、その数になる数のこと。
ある数の「根っこ（root）」を探すイメージです。
「9 の平方根は？」と聞かれたら、「2乗して9になる数は何ですか？」という意味です。
答えは 3 と -3 の2つあります。
正の数の平方根は、必ずプラスとマイナスの2つある。
16の平方根は 4 と -4
25の平方根は 5 と -5
プラスとマイナスをまとめて ± （プラスマイナス）という記号で ±4 のように書くこともできます。
0の平方根は 0 のみ。
2乗してマイナスになる数はないので、負の数の平方根は（中学数学の範囲では）考えません。
では、「2の平方根は？」と聞かれたらどうでしょう。
2乗して2になる数を探しても、1.41421356... と、どこまでも続く小数（無理数）になってしまい、正確に書き表せません。
そこで登場するのが、新しい記号√（ルート）です。
√の意味: この記号は「平方根のプラスの方」を表すためのものです。
√2 の読み方: 「ルートに」
√2 の意味: 「2乗すると 2 になる数のうち、プラスの方」
-√2 の意味: 「2乗すると 2 になる数のうち、マイナスの方」
つまり、「2の平方根は？」と聞かれたら、答えは √2 と -√2 （または ±√2） となります。
同様に、「5の平方根は？」と聞かれたら ±√5 です。
「9の平方根は？」と聞かれたら、±√9 ですが、√9は「2乗すると9になるプラスの数」なので、これは3のことです。
したがって、±√9 = ±3 となります。
√の中の数が何かの2乗になっている場合は、√を使わない整数や分数で表すことができます。
√36 = 6
√49 = 7
√がついた数の大小を比べるのは簡単です。
ルール: √の中の数字が大きい方が、数としても大きい。
√2 と √3 → 中の数字が 3 > 2 なので、√3 > √2 となります。
3 と √10 の大小を比べるには、3を√のついた形に直します。
3は2乗すると9になる数なので、3 = √9 と表せます。
√9 と √10 を比べると、中の数字が 10 > 9 なので、√10 > √9
よって、√10 > 3 となります。
中学3年生では、数を新しいグループに分類します。
有理数: 2, -5, 1/3, 0.7 のように、分数の形で表せる数のこと。
有限小数や循環する無限小数が含まれます。
無理数: √2 や π (円周率) のように、分数で表すことができず、循環しない無限小数になる数のこと。
平方根の中で、√4(=2) や √9(=3) のように√が外れるものは「有理数」ですが、√2 や √3 のように√が外れないものは「無理数」です。
√(a²) = a と考えがちですが、一つだけ注意が必要です。
√という記号は、必ずプラスの数（または0）を表すというルールがあります。
√(3²) = √9 = 3
√(-3)² = √9 = 3
このように、√の中が2乗になっている場合、その√をはずした結果は必ずプラスの値になります。
これは、「√の中の数の絶対値が出てくる」と考えると分かりやすいです。
aの平方根 → 2乗してaになる数のこと。
±√a の2つがある。
√a → aの平方根のうち、プラスの方。
大小関係は、√の中の数字で比べる。
√がはずれない平方根は、無理数という新しい数の仲間。
平方根は、これから学ぶ二次方程式を解くために必須の知識です。
まずは記号の意味と基本的な考え方にしっかり慣れていきましょう。