比例のグラフが「まっすぐな直線」だったのに対し、反比例のグラフは美しくカーブする「曲線」になります。
ここでは、その特徴やかき方、そしてグラフから情報を読み取る方法まで、比例グラフとの違いを比べながら解説します。
反比例 y = a/x のグラフには、比例とは全く違う、次のような絶対的な特徴があります。
なめらかな曲線になります。
この特徴的な曲線を双曲線（そうきょくせん）と呼びます。
グラフは常に2つのペアで現れます。
原点(0, 0)を絶対に通りません。
（式のxに0は入れられないため）
x軸、y軸のどちらとも交わりません。
軸に近づいてはいきますが、決して触れることはありません。
反比例のグラフは、点をたくさん見つけて、それらをなめらかに結んでかきます。
直線と違って、2点だけでは正しい曲線はかけません。
そこで、xにいくつかの数を代入して、対応するyの値を計算し、表にまとめます。
xには、比例定数aの約数を代入すると、yの値が割り切れて整数になるので、座標平面に点をとりやすくなります。
比例定数6の約数は 1, 2, 3, 6 です。
これらのプラスの値とマイナスの値をxに代入してみましょう。
| x | -6 | -3 | -2 | -1 | （0） | 1 | 2 | 3 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | -1 | -2 | -3 | -6 | （なし） | 6 | 3 | 2 | 1 |
ステップ1で求めた座標のペア (-6, -1), (-3, -2), (-2, -3), (-1, -6) や (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1) などを、座標平面上に正確にプロットしていきます。
プロットした点を、定規を使わずにフリーハンドでなめらかな曲線になるように結びます。
プラスのグループ（右上）とマイナスのグループ（左下）は、それぞれ別の曲線になります。
グラフがx軸やy軸に触れないように、近づけながら線を伸ばしていくのがポイントです。
グラフを見るだけで、反比例の式の性質が分かります。
ここでも鍵を握るのは比例定数 a です。
例：y = 6/x や y = 12/x など
グラフの位置：右上と左下のエリアに1つずつ現れます。
（数学的には第1象限と第3象限）
例：y = -6/x や y = -12/x など
グラフの位置：左上と右下のエリアに1つずつ現れます。
（数学的には第2象限と第4象限）
グラフが与えられて、その式を求める問題もよく出ます。
グラフは「原点を通らない双曲線」なので、反比例の式 y = a/x であることが分かります。
反比例では、x × y = a が常に成り立つという便利な性質があります。
グラフが通る読みやすい点 (-2, 4) を見つけます。
この x = -2, y = 4 を使って、比例定数aを計算します。
a = x × y = (-2) × 4 = -8
求めた比例定数 a = -8 を y = a/x に戻して、式の完成です。
答え： y = -8/x
反比例のグラフは、双曲線と呼ばれる2つ1組のなめらかな曲線。
グラフをかくには、点をたくさん見つけてフリーハンドで結ぶ。
比例定数aがプラスなら右上・左下、マイナスなら左上・右下。
グラフから式を求めるには、通る点の座標をかけて比例定数を求める xy = a が超便利。
直線になる比例のグラフと、曲線になる反比例のグラフ。
この2つの違いをしっかり理解することが、関数をマスターするための第一歩です。