反比例①

 

「反比例」を深く理解しよう

小学校で学んだ「反比例」。

中学1年生では、この関係を「負の数」まで範囲を広げ、y = a/x という式を使って、より本格的に学んでいきます。

比例との違いを意識しながら、反比例の世界を探検してみましょう。

 

1. 小学校の「反比例」をおさらい

小学校では、こんな関係を「反比例」と習いました。

「一方が2倍、3倍…になると、もう一方は1/2倍、1/3倍…になる関係」

例えば、「面積が12cm²の長方形」を考えます。

たての長さを変えると、横の長さも変わります。

たての長さ (x cm)	1	2	3	4
横の長さ (y cm)	12	6	4	3

たての長さが1cmから2倍の2cmになると、横の長さは12cmから1/2倍の6cmになります。

たての長さが1cmから3倍の3cmになると、横の長さは12cmから1/3倍の4cmになります。

このように、たての長さと横の長さは「反比例の関係」にあります。

 

2. 中学校の「反比例」：式で表す y = a/x

中学校では、この関係を文字xとyを使い、次のような式で表します。

反比例の式: y = a/x

y: 変化する結果（例：横の長さ）

x: 変化する原因（例：たての長さ）

a: 比例定数（ひれいていすう）。

決まった数のことです。

さきほどの長方形の例で言うと、「横の長さ(y)は、面積12(a) ÷ たての長さ(x)」で求められるので、

y = 12/x

という式になります。

このとき、比例定数 a は 12 です。

【超重要ポイント】

反比例の関係では、xとyをかけると、常に一定の数（比例定数 a）になります。

x × y = a

長方形の例でも、「たて × よこ = 常に面積12」が成り立っています。

 

3. 世界が広がる！「負の数」の反比例

中学校の反比例では、比例と同じく x や y、そして比例定数 a が「負の数（マイナス）」になることがあります。

例1：y = 12/x で x が負の数の場合

x = -1 のとき → y = 12 ÷ (-1) = -12

x = -2 のとき → y = 12 ÷ (-2) = -6

x = -3 のとき → y = 12 ÷ (-3) = -4

xが負の数でも、ちゃんとyの値を計算することができます。

例2：比例定数 a が負の数の場合

y = -18/x という式を考えてみましょう。

x = 3 のとき → y = -18 ÷ 3 = -6

x = 6 のとき → y = -18 ÷ 6 = -3

x = -2 のとき → y = -18 ÷ (-2) = +9 （マイナス÷マイナスはプラス）

このように、比例定数aが負の数でも、計算のルールに従えば問題ありません。

【注意！】

反比例の式 y = a/x では、分母にxがあります。

算数・数学の世界では「0でわることはできない」という絶対的なルールがあるため、反比例では x が0になることは絶対にありません。

 

4. 反比例の式の求め方

「yはxに反比例し、x = 3のときy = 5です。

yをxの式で表しなさい」という問題を解いてみましょう。

方法①：y = a/x に代入する

式の形を決める: 「反比例する」とあるので、求める式は y = a/x です。

代入する: 分かっている x = 3 と y = 5 を式に代入します。

5 = a / 3

方程式を解く: a についての方程式を解きます。

両辺に3をかけると、

15 = a

式を完成させる: 求めた比例定数 a = 15 を元の式に戻します。

答え： y = 15/x

方法②：xy = a を利用する（こちらが速くてオススメ！）

反比例の関係では、xとyをかけた値が比例定数aになります。

a = x × y = 3 × 5 = 15

これを y = a/x に戻して、答え： y = 15/x

 

まとめ

中学校の「反比例」は、小学校で学んだ関係を y = a/x という式で表現します。

合言葉は y = a/x

xy = a （積が一定） と覚えておくと計算が速い！

比例定数aはマイナスでもOK。

xは絶対に0にならない。

比例と反比例は、セットでよく登場する重要な関係です。

それぞれの式の特徴と違いをしっかり区別できるように、練習を重ねましょう。